Ensembles finis Exemples

$f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ comme une équation.

$y = \frac{- 2}{x} - 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{- 2}{y} - 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{- 2}{y} - 1 = x$ .

$\frac{- 2}{y} - 1 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{- 2}{y} = x + 1$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{y} = x + 1$

Étape 3.4

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.4.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 3.4.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.5

Multiplier chaque terme dans $- \frac{2}{y} = x + 1$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.5.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{2}{y} = x + 1$ par $y$ .

$- \frac{2}{y} y = x y + 1 y$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{y} y = x y + 1 y$

Étape 3.5.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{y} y = x y + 1 y$

Étape 3.5.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 = x y + 1 y$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 2 = x y + y$

Étape 3.6

Résolvez l’équation.

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $x y + y = - 2$ .

$x y + y = - 2$

Étape 3.6.2

Factorisez $y$ à partir de $x y + y$ .

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Étape 3.6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x + y = - 2$

Étape 3.6.2.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y x + y = - 2$

Étape 3.6.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y x + y \cdot 1 = - 2$

Étape 3.6.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = - 2$

Étape 3.6.3

Divisez chaque terme dans $y (x + 1) = - 2$ par $x + 1$ et simplifiez.

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Étape 3.6.3.1

Divisez chaque terme dans $y (x + 1) = - 2$ par $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2}{x + 1}$

Étape 3.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 3.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2}{x + 1}$

Étape 3.6.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2}{x + 1}$

Étape 3.6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2}{x + 1}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{(\frac{- 2}{x} - 1) + 1}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{\frac{- 2}{x} + 0}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $\frac{- 2}{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{\frac{- 2}{x}}$

Étape 5.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - \frac{2}{- \frac{2}{x}}$

Étape 5.2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (- \frac{x}{2}))$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{2}$ dans le numérateur.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (\frac{- x}{2}))$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = - (2 (\frac{- x}{2}))$

Étape 5.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{- 2}{x} - 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{2}{x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = \frac{- 2}{- \frac{2}{x + 1}} - 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = - 2 (- \frac{x + 1}{2}) - 1$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x + 1}{2}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = - 2 \frac{- (x + 1)}{2} - 1$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 2 (- 1) (\frac{- (x + 1)}{2}) - 1$

Étape 5.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- (x + 1)}{2}) - 1$

Étape 5.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{2}{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Étape 5.3.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = 1 (x + 1) - 1$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x + 1 - 1$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 1 - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (- \frac{2}{x + 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{- 2}{x} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{2}{x + 1}$